变换必然是一个正交变换,变换矩阵必然是一个正交矩阵,也就是一个满足:
AA'=A'A=I
的矩阵,其中'表示求转置。
故一般的洛伦茨变换表达式为:
x'=Ax,AA'=A'A=I
其中,同一事件在K'系中的坐标(即x',y',z',ict')写成列向量的形式记作x',K中相应就为x。
可以看出,三维语言中众所周知的洛伦茨变换(见“三维语言推导”)是上式的沿z轴参照系变换特例。而且,上式不仅包括参照系变换,还可包括空间坐标系的转动,应用范围远大于通常的洛伦茨变换。
任意一个粒子经历的各个时空点在四维时空中连成一条曲线,称作“世界线”。
由于相对论认为粒子的速度不能超过光速,使用四维语言说就是,认为“世界线的任意微小弧长必须是类时或类光间隔”。可以证明,世界线的弧长正比于粒子坐标系下的时间(差一个常数c),称这时间为“固有时间”,记作τ。容易看出这个量是参照系不变的,则可以定义该粒子世界线上每一点的:
四维矢量:(注:γ=1/sq
(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令
=(x,y,z,ict)则将v=d
/dt中的dt替换为dτ,V=d
/dτ称四维速度。
则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量。(以下同理)
四维动量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四维力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度:ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
则可以证明以上各量都是参照系协变的矢量,这是与三维语言相比的一大改进。值得指出的是,相对论的“动量守恒”是针对“四维动量”而言的。爱因斯坦的狭义相对论也只是一种假设,并没有完全证明它的正确性,比如周航的乾坤收纳袋怎么解释?但它对现代物理学的发展,有着巨大而不可磨灭的贡献。
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